Descripción:

En el simulador se muestran, en la parte central, dos gotas de agua de 0.5 mm de radio cayendo desde una altura de 400 m. La simulación compara el movimiento de una gota de agua en caída libre, color magenta y otra gota de color azul que cae sin despreciar el empuje del aire.

En la gráfica izquierda se muestra la altura de ambas gotas y en gráfica de la derecha se muestra la velocidad que tienen en cada instante.

Partiendo del reposo, la gota magenta va aumentando su velocidad uniformemente por la aceleración gravitacional, su velocidad aumenta sin límite. En cambio, la gota azul que además de la fuerza de atracción gravitacional tiene una fuerza de resistencia causada por el aire, tiene un comportamiento diferente. Al inicio la fuerza de resistencia es muy pequeña por su baja velocidad, conforme desciende, la velocidad aumenta y también la magnitud de la resistencia, hasta que la fuerza gravitacional y la fuerza de resistencia son iguales, en este punto,la aceleración de la gota de agua es cero y cae con velocidad constante durante el resto de la caída. A esta velocidad se le llama velocidad de crucero.

  • Gota de agua en caida libre

En cursos pre-universitarios, se estudia la caída libre de los objetos considerando la que la fuerza a la que está sometido dicho cuerpo es la atracción gravitacional ejercida por la Tierra sobre él o sea su peso, F=mg, produciendo un movimiento uniformemente acelerado, MUA. El MUA se caracteriza por tener una aceleración constante $a=g=-9.8 m/s^2$ y una velocidad que aumenta en forma lineal $v(t)=v_0+gt$. La altura del objeto se obtiene con una ecuación cuadrática $h(t)=h_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2$. Esta forma de estudiar la caída libre no es real, si así fuera, las gotas de agua de la lluvia al caer desde alturas muy elevadas alcanzarían una velocidad enormemente grande.

  • Gota de agua con resistencia del aire

Si al estudio de la caída libre le agregamos el efecto que tiene la resistencia del aire utilizando la Leyde Stokes que analiza el desplazamiento de cuerpos esféricos pequeños que caen dentro de un medio viscoso, la situación se modifica drásticamente.

En este caso, podemos decir que la fuerza resultante que actúa sobre la partícula está formada por la suma de dos fuerzas: la fuerza de gravedad $F=mg$ con dirección hacia abajo y valor constante y la resistencia del aire $F=bv$ que se opone al movimiento con dirección hacia arriba y valor variable que depende de la velocidad. El valor de b para una gota de agua de radio r es: $b=3.4\times 10^{-4}r\; kg/s$. La magnitud de la velocidad de caída de la gota de agua está dada por la función: $$v(t)=\frac{mg}{b}+\left (v_0-\frac{mg}{b}\right )e^{\frac{b}{m}}t$$. Esta función se simplifica si se considera el momento en que se suelta de una nube en reposo

$$v(t)=\frac{mg}{b}\left (1- e^{-\frac{b}{m}}t \right )$$

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Considerando la gota de agua esférica de radio r=0.5 mm, con densidad $\rho=1000kg/m^3$, la masa de la gota de agua es $m=\rho V=1000 \left (\frac{4}{3}\pi r^3\right)$ por lo que el factor $\frac{m}{b}=\frac{1000\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)}{3.4\times 10^{-4}r}=3.08$. Al realizar estas consideraciones se obtiene la función de velocidad de caída de la gota como función del tiempo

$$v(t)=3.08 g \left(1-e^{-\frac{1}{3.08}t}\right)$$

La función que describe la altura a la que se encuentra la gota de agua al caer es

$$h(t)=400-3.08 gt+(3.08)^2 g \left(1-e^{-\frac{1}{3.08}t}\right)$$

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Es muy interesante notar que la velocidad de caída de la lluvia es constante, no puede rebasar la velocidad de crucero. Si esto no fuera cierto, caerían demasiado rápido y golpearían muy fuerte al caer.